En kompakt regel eller modell som beskriver ett samband mellan storheter, till exempel `A = l · b`.

En variabel vars värde påverkas av andra variabler. I `K = 45 + 12x` är `K` beroende av `x`.

En variabel som kan väljas, mätas eller varieras i modellen. I taxiformeln är `x` antal kilometer.

Att ersätta en variabel i en formel med ett känt värde och sedan beräkna uttrycket.

Att skriva om en formel så att en vald variabel står ensam, exempelvis `t = s/v` från `v = s/t`.

Ett matematiskt uttryck som beskriver ett generellt samband mellan storheter.

En förenklad matematisk beskrivning av en verklig situation.

Att med algebra skriva om en formel så att en bestämd variabel står ensam.

Formler och algebraisk modellering — Matematiklyftet åk 9 – komplett träning inför nationella provet

Q: En rektangel har formeln `A = l · b`. Längden är `2,4 m` och bredden är `50 cm`. Vilken area är korrekt?

1,2 m². Först omvandlas `50 cm` till `0,50 m`. Sedan blir `A = 2,4 m · 0,50 m = 1,2 m²`. Alternativet 120 uppstår om man multiplicerar innan enheterna gjorts lika.

Q: En tjänst beskrivs av formeln `K = 80 + 15x`. Vilken formel ger `x` uttryckt med `K`?

`x = (K - 80)/15`. Subtrahera först 80 från båda leden: `K - 80 = 15x`. Dividera sedan med 15: `x = (K - 80)/15`. Parentesen visar att hela skillnaden delas med 15.

1. Formeln som en återanvändbar modell

Formel = modell

En formel är en regel som beskriver ett samband. Den kan användas igen med nya värden utan att du behöver bygga upp lösningen från början.

Exempel: rektangel

`A = l · b` beskriver rektangelns area. `A` är area, `l` längd och `b` bredd. Formeln gäller för alla rektanglar, inte bara ett enskilt exempel.

Beroende och oberoende

`A` är beroende eftersom arean påverkas av längd och bredd. `l` och `b` är oberoende variabler: deras värden kan väljas eller mätas.

Likhet är balans

I `A = l · b` har båda leden samma värde. Formeln uttrycker ett samband, precis som ekvationer och algebraiska uttryck från tidigare avsnitt.

2. Läs en formel innan du räknar

Bokstäver får sin betydelse av sammanhanget

En variabel är inte automatiskt en viss storhet. `v` kan betyda volym i en uppgift och hastighet i en annan. Läs alltid texten och enheterna.

Taximodellen

I `K = 45 + 12x` kan `K` vara kronor och `x` kilometer. `45` är fast startavgift medan `12x` är 12 kr per kilometer.

Tre kontrollfrågor

Fråga: Vad visar vänsterledet? Vilka enheter har variablerna? Vad betyder talen i situationen? Då blir formeln en begriplig modell, inte bara symboler.

3. Insättning: från formel till beräkning

Exempel

Taxikostnaden ges av `K = 45 + 12x`. Enheten för `K` är kronor och `x` räknas i kilometer. Beräkna kostnaden när `x = 8`.

Sätt in

Ersätt bara variabeln: `K = 45 + 12 · 8`. Skriv ut multiplikationstecknet när du arbetar stegvis; det gör beräkningen lättare att granska.

Räkna i rätt ordning

`K = 45 + 96 = 141`. Multiplikationen kommer före additionen. Slutsats: 141 kr. Enheten hör till svaret, inte bara till uppgiftstexten.

Negativa värden

Vid insättning av ett negativt tal använder du parentes: `3x - 4` när `x = -2` blir `3 · (-2) - 4`. Då syns tecknen korrekt.

4. Enhetskontroll avslöjar fel

Enheter är en del av matematiken

Enhetskontroll frågar om svarets enhet är rimlig. I areaformeln `A = l · b` ska enheten bli en areaenhet, till exempel `m²`.

Gör enheterna lika först

För `4 m · 30 cm` omvandlar du först: `30 cm = 0,30 m`. Sedan får du `4 m · 0,30 m = 1,2 m²`.

Vanliga samband

`m · m = m²` för area och `m² · m = m³` för volym. I `v = s/t` blir enheten exempelvis `km/h` när sträckan är km och tiden h.

5. Lösa ut en variabel ur en formel

Målet

Att lösa ut en variabel innebär att den blir ensam i ett led. Gör alltid samma förändring i båda leden, så bevaras likheten.

Lös ut sträckan

Från `v = s/t`: multiplicera båda leden med `t`. Då får du `vt = s`, vilket kan skrivas `s = vt`.

Lös ut tiden

Från `v = s/t`: multiplicera först med `t` så att `vt = s`. Dividera sedan med `v`: `t = s/v`.

Kontrollera med enhet

I `s = vt` blir `(km/h) · h = km`. Enheten passar sträcka. Enhetskontroll är också en kontroll av din algebra.

6. Omskrivning i geometri

Triangelns area

Formeln är `A = bh/2`. Triangeln har `A = 30 cm²` och `b = 12 cm`. Vi söker höjden `h`.

Sätt in och ta bort nämnaren

`30 = 12h/2`. Multiplicera båda leden med 2: `60 = 12h`. Divisionen med 2 försvinner på höger sida.

Gör h ensam

Dividera båda leden med 12: `h = 5`. Svaret är 5 cm, eftersom höjd är en längd och inte en area.

Generell omskrivning

`A = bh/2` ger `2A = bh` och sedan `h = 2A/b`. Skriv inte `A/(2b)`; det skulle dela med 2 i stället för att multiplicera med 2.

7. Fysik och vardagsekonomi

Rörelse med rätt tid

Cyklisten kör `18 km/h` i 40 min. Omvandla tiden: `40 min = 2/3 h`. Hastighet i km/h kräver tid i timmar.

Beräkna sträckan

`s = vt = 18 · 2/3 = 12`. Enhetskontroll: `(km/h) · h = km`. Cyklisten färdas 12 km.

Rabatt som formel

Efter 25 % rabatt återstår 75 % av priset: `P = 0,75O`. Bokstaven `O` står för ordinarie pris, `P` för pris efter rabatt.

Räkna baklänges

Om `P = 450` får du `O = P/0,75 = 450/0,75 = 600`. För att återställa ett pris delar du med förändringsfaktorn.

8. Konstruera och värdera en modell

Bygg en formel från situationen

Starta med vad som finns från början och lägg till förändringen. 15 liter från början och 4 liter per minut ger `V = 15 + 4t`.

Tolka delarna

`V` är volym i liter, `t` är tid i minuter, 15 är startvärde och 4 är förändringshastighet i liter per minut.

Värdetabell

Vid `t = 0, 1, 2, 5` blir `V = 15, 19, 23, 35`. Tabellen visar en ökning med 4 för varje minut.

En modell har gränser

Om behållaren rymmer 50 liter kan inte formeln användas obegränsat. Värdera alltid om modellens antaganden passar situationen.

9. Tänk som en modellbyggare

Miniaktivitet: mobilabonnemang

Ett abonnemang kostar 99 kr per månad plus 0,50 kr per minut du ringer. Låt `K` vara månadskostnaden i kronor och `m` antal ringda minuter.

Gör detta på papper eller i huvudet:

Skriv en formel för kostnaden.
Beräkna kostnaden för 80 minuter.
Förklara vad kostnaden blir om inga minuter rings.
Bedöm om formeln kan användas för negativa minuter.

Kontroll:

`K = 99 + 0,50m`

För `m = 80` blir `K = 99 + 0,50 · 80 = 139`. Noll minuter ger fortfarande 99 kr, eftersom abonnemanget har en fast avgift. Negativa minuter saknar betydelse i den verkliga situationen, även om algebraiskt insatta tal kan ge ett resultat. Detta visar skillnaden mellan en matematisk formel och dess rimliga användningsområde.

10. Quiz: insättning och enhet

En rektangel har formeln `A = l · b`. Längden är `2,4 m` och bredden är `50 cm`. Vilken area är korrekt?

1,2 m²
120 m²
1 200 m²
52,4 m²

Show Answer

Answer: A) 1,2 m²

Först omvandlas `50 cm` till `0,50 m`. Sedan blir `A = 2,4 m · 0,50 m = 1,2 m²`. Alternativet 120 uppstår om man multiplicerar innan enheterna gjorts lika.

11. Quiz: lösa ut variabel

En tjänst beskrivs av formeln `K = 80 + 15x`, där `K` är kostnad i kronor och `x` antal enheter. Vilken formel ger `x` uttryckt med `K`?

En tjänst beskrivs av formeln `K = 80 + 15x`. Vilken formel ger `x` uttryckt med `K`?

`x = K - 80 · 15`
`x = (K - 80)/15`
`x = K/(80 + 15)`
`x = 15/(K - 80)`