En hundradel. `1 % = 0,01 = 1/100`.

Den mängd som utgör en andel av helheten. Beräkna med `delen = andelen · det hela`.

Hur stor del av helheten något är. Beräkna med `delen/det hela`, och omvandla sedan till procent.

Det värde som 100 % motsvarar. Om delen och andelen är kända: `det hela = delen/andelen`.

Skillnaden mellan två procentandelar. Från 32 % till 40 % är 8 procentenheter.

Den mängd som är en andel av det hela.

En minskning av ett pris, vanligen angiven som procent av ordinarie pris.

Delen uttryckt i förhållande till det hela, ofta i procent.

Procent, procentenheter och vardagsberäkningar — Matematiklyftet åk 9 – komplett träning inför nationella provet

Q: Välj rätt svar.

1 147,50 kr och 23,5 % rabatt. Förändringsfaktorerna är `0,85` och `0,90`. Slutpriset blir `1 500 · 0,85 · 0,90 = 1 147,50` kr. Slutfaktorn är `0,765`, så 76,5 % återstår och rabatten är `100 - 76,5 = 23,5 %`.

1. Procent är en andel av hundra

Procent betyder hundradel

Ordet procent betyder "per hundra". Därför är `1 % = 1/100 = 0,01`. En andel på 25 % kan skrivas `25/100`, `0,25` eller `1/4`. Att kunna byta form gör beräkningar snabbare.

De tre storheterna

En procentuppgift innehåller ofta det hela, delen och andelen. Det hela är jämförelsevärdet, delen är en bit av helheten och andelen uttrycks vanligtvis i procent.

Grundformeln

Sambandet är `delen = andelen · det hela`. Skriv andelen i decimalform när du multiplicerar: 18 % blir `0,18`. Procent beskriver en relation, medan svaret på delen ofta får en enhet, som kronor eller personer.

Se 100 delar framför dig

Föreställ dig en ruta med 100 lika stora små rutor. Om 37 är färgade är andelen 37 %. En stapel där hela längden är 100 % fungerar på samma sätt och visar tydligt del och helhet.

Kontrollera svaret

Mellan 0 % och 100 % måste delen ligga mellan noll och det hela. Använd 10 % som ankare: 10 % av 400 är 40, så 15 % av 400 ska vara lite mer än 40, inte 600.

2. Tre centrala procentfrågor

A. Beräkna delen

Hur mycket är 18 % av 750 kr? Skriv `18 % = 0,18` och räkna `0,18 · 750 = 135`. Svar: 135 kr. Du kan kontrollera med huvudräkning: 10 % är 75 kr, så 18 % bör vara mindre än 150 kr.

Alternativ huvudräkning

Dela upp 18 % i 10 %, 5 % och 3 %. Av 750 kr är de 75 kr, 37,50 kr och 22,50 kr. Summan `75 + 37,50 + 22,50` blir 135 kr. Flera metoder ger en stark kontroll.

B. Beräkna andelen

Om 42 av 120 elever cyklar är andelen `42/120 = 0,35`. Omvandla till procent: `0,35 · 100 % = 35 %`. Bråket ska alltid vara delen dividerat med det hela.

C. Beräkna det hela

Om 84 kr är 35 % av ett pris gäller `0,35 · det hela = 84`. Dividera båda leden med `0,35`: `det hela = 84/0,35 = 240`. Det ursprungliga priset är alltså 240 kr.

Upptäck en felvänd kvot

I elevexemplet är 120 helheten. Kvoten `120/42` blir större än 1, alltså över 100 %, trots att 42 elever bara är en del av 120. Ett orimligt svar hjälper dig hitta fel metod.

3. Metodverkstad: välj rätt fråga

Gör först utan miniräknare

Avgör vilken av de tre procentfrågorna varje situation är. Skriv gärna en ekvation innan du räknar.

En jacka kostar 640 kr och rabatten är 25 %. Hur många kronor är rabatten?
En förening har 280 medlemmar. 70 är ungdomar. Hur stor andel är ungdomar i procent?
96 liter motsvarar 12 % av en tank. Hur stor är tankens volym?

Facit och tankegång

Du söker delen: `0,25 · 640 = 160`. Rabatten är 160 kr.
Du söker andelen: `70/280 = 0,25 = 25 %`.
Du söker det hela: `0,12 · x = 96`, alltså `x = 96/0,12 = 800`. Tanken rymmer 800 liter.

Reflektera

I uppgift 1 är 25 % inte 25 kr. I uppgift 3 får svaret inte bli mindre än 96 liter, eftersom 96 liter bara är 12 % av hela tanken. Sådana tolkningar är viktiga även när en miniräknare används.

4. Procentuell förändring och procentenheter

Procentenheter jämför andelar

Om en andel ökar från 40 % till 46 % är skillnaden `46 % - 40 % = 6 procentenheter`. Du använder procentenheter när du subtraherar två procenttal som beskriver andelar.

Procentuell förändring jämför med starten

Ökningen från 40 % till 46 % är också relativt sett `6/40 = 0,15 = 15 %`. Den har alltså ökat med 6 procentenheter, vilket motsvarar en procentuell ökning på 15 %.

Exempel med kronor

När ett pris går från 500 kr till 575 kr är ökningen 75 kr. Relativt startpriset blir den `75/500 = 15 %`. Procentenheter passar inte här, eftersom värdena från början är kronor och inte procent.

Minskande ränta

En ränta från 4,5 % till 3,8 % minskar med `0,7` procentenheter. Relativt den gamla räntan är minskningen `0,7/4,5 ≈ 15,6 %`. Båda formuleringarna kan vara riktiga men betyder olika saker.

Promille

Promille betyder per tusen: `1 ‰ = 0,001 = 0,1 %`. Alltså är `7 ‰ = 0,7 %`. Använd omvandlingen noggrant: ett promilletecken är inte samma sak som ett procenttecken.

5. Rabatt, påslag och förändringsfaktor

Rabatt med två metoder

30 % rabatt på 3 200 kr är `0,30 · 3 200 = 960` kr, så priset blir 2 240 kr. Med förändringsfaktor återstår 70 %: `3 200 · 0,70 = 2 240`.

Påslag

Vid ett påslag på 25 % behåller du hela ursprungsvärdet och lägger till 25 %. Faktorn blir `1,25`. Ett inköpspris på 800 kr blir därför `800 · 1,25 = 1 000` kr.

Regel för förändringsfaktor

Ökning med p %: faktor `1 + p/100`. Minskning med p %: faktor `1 - p/100`. Exempel: 8 % ökning ger `1,08`; 8 % minskning ger `0,92`.

Två rabatter adderas inte

Först 20 % rabatt och sedan 20 % rabatt ger `0,80 · 0,80 = 0,64`. Du betalar 64 % av originalpriset. Den sammanlagda rabatten är därför 36 %, inte 40 %.

Samma procent upp och ned

Från 1 000 kr: `1 000 · 0,80 · 1,20 = 960`. En sänkning på 20 % och en höjning på 20 % ger alltså inte ursprungspriset. Höjningen beräknas på det lägre priset.

6. Quiz: procentenhet eller procent?

Välj den mest korrekta formuleringen

En undersökning visar att andelen som tränar minst tre gånger i veckan ökar från 32 % till 40 %. Hur ska förändringen beskrivas?

Vilket alternativ är korrekt?

Ökningen är 8 procentenheter och motsvarar en procentuell ökning på 25 %.
Ökningen är 8 % och motsvarar en ökning på 25 procentenheter.
Ökningen är 25 procentenheter och motsvarar en procentuell ökning på 8 %.
Ökningen är 40 % eftersom den nya andelen är 40 %.

Show Answer

Answer: A) Ökningen är 8 procentenheter och motsvarar en procentuell ökning på 25 %.

Skillnaden mellan andelarna är `40 - 32 = 8` procentenheter. Den relativa ökningen beräknas från startvärdet: `8/32 = 0,25 = 25 %`.

7. Ränta och ränta-på-ränta

Räntesats och ränta

På 10 000 kr med 3 % årlig ränta är räntan efter ett år `0,03 · 10 000 = 300` kr. Räntesatsen är 3 %, medan räntan i kronor är 300 kr. Kapitalet blir 10 300 kr.

Ränta-på-ränta

När räntan läggs till kapitalet räknas nästa års ränta på ett större belopp. Efter två år: `10 000 · 1,03 · 1,03 = 10 609` kr. Faktorn `1,03` används en gång för varje år.

Potensform

Efter n år med ränta r kan modellen skrivas `startkapital · (1 + r)^n`, där r skrivs i decimalform. Vid 3 % under fem år används alltså `10 000 · 1,03^5`.

Enkel ränta är en annan modell

Enkel ränta beräknas alltid på startkapitalet. 3 % av 10 000 kr är 300 kr per år, alltså 600 kr på två år. Ränta-på-ränta ger i stället 609 kr i ränta under samma tid.

Värdeminskning

En minskning med 12 % ger faktorn `0,88`, eftersom 88 % återstår. Efter tre år används `5 000 · 0,88^3`. Minustecknet hör till förändringen, inte till själva förändringsfaktorn.

8. Undersökningar och procentuella jämförelser

Antal och andel kan säga olika saker

18 av 24 är `75 %`, medan 60 av 90 är ungefär `66,7 %`. Den andra gruppen har fler ja-svar i antal, men den första har större andel. Identifiera alltid helheten innan du jämför.

Jämför två butiker

150 av 600 produkter är 25 %, och 180 av 900 är 20 %. Första butikens andel är 5 procentenheter högre. Procentenheter beskriver den direkta skillnaden mellan 25 % och 20 %.

Relativ jämförelse

Relativt 20 % är skillnaden `5/20 = 25 %`. Du kan alltså säga: 5 procentenheter högre, eller 25 % högre relativt den andra andelen. Ange vilken jämförelse du gör.

Avrundning

Bråket `2/3` ger `66,666... %`. Om en decimal behövs avrundas det till 66,7 %. Behåll fler siffror under mellanled och avrunda helst först i ditt slutsvar.

Över 100 % är möjligt

Från 40 till 100 är ökningen 60. Relativ ökning är `60/40 = 150 %`. Det är rimligt: det nya värdet är 2,5 gånger så stort, alltså 250 % av startvärdet.

9. Felsök en vardagsannons

Granska påståendena

En butik skriver: "Först sänker vi priset 50 %. Sedan höjer vi det 50 %, så priset är tillbaka på samma nivå." En nyhetstext skriver: "Andelen ökade från 10 % till 15 %, alltså ökade den med 5 %."

Din uppgift

Förklara med en beräkning varför varje påstående är missvisande. Använd ett enkelt startvärde, exempelvis 1 000 kr, för butikens pris. Skriv sedan en korrekt version av varje mening.

Möjligt svar

Butiken: `1 000 · 0,50 · 1,50 = 750`. Efter sänkning och höjning är priset 750 kr, inte 1 000 kr. Priset är 25 % lägre än ursprungspriset. Höjningen räknas på 500 kr, inte på 1 000 kr.

Nyhetstexten: Skillnaden är 5 procentenheter. Den relativa ökningen är `5/10 = 50 %`. En korrekt formulering är: "Andelen ökade med 5 procentenheter, från 10 % till 15 %, vilket motsvarar en relativ ökning på 50 %."

10. Quiz: sammansatt rabatt

Beräkna med förändringsfaktorer

En vara kostar 1 500 kr. Först ges 15 % rabatt. Därefter ges 10 % rabatt på det redan nedsatta priset. Vilket är slutpriset och den sammanlagda rabatten?

Välj rätt svar.

1 125 kr och 25 % rabatt
1 147,50 kr och 23,5 % rabatt
1 275 kr och 15 % rabatt
1 350 kr och 10 % rabatt