Ett påstående att två uttryck har samma värde, till exempel `3x + 2 = 14`.

Ett av uttrycken på varsin sida om likhetstecknet. I `x + 4 = 11` är `x + 4` vänster led och 11 höger led.

Ett värde på variabeln som gör ekvationen sann.

Mängden av alla värden som löser ekvationen, till exempel `L = {7}`.

Att göra samma tillåtna operation i båda leden för att behålla en ekvations lösningsmängd.

Minsta gemensamma multipel, ett tal som är delbart med alla aktuella nämnare.

Ett påstående att vänster led och höger led har samma värde.

Ett värde på variabeln som gör ekvationen sann.

Linjära ekvationer och balansmetoden — Matematiklyftet åk 9 – komplett träning inför nationella provet

Q: Vilken rad är korrekt direkt efter `5x - 7 = 18`?

`5x = 25`. Addera 7 i båda leden: `5x - 7 + 7 = 18 + 7`, vilket ger `5x = 25`. Först därefter dividerar du båda leden med 5 och får `x = 5`.

Q: Vilket är rätt värde på x i `3(x + 2) = x + 14`?

`x = 4`. Utveckla parentesen: `3x + 6 = x + 14`. Subtrahera `x` i båda leden: `2x + 6 = 14`. Subtrahera 6: `2x = 8`. Dividera med 2: `x = 4`. Prövning: `3(4 + 2) = 18` och `4 + 14 = 18`.

Ekvationen som en balansvåg

Likhetstecknet visar balans

En ekvation säger att två uttryck har samma värde. I `x + 4 = 11` är vänster led och höger led lika stora. Likhetstecknet betyder inte "här kommer svaret".

Samma sak i båda leden

Föreställ dig en balansvåg. För att vågen ska fortsätta vara i balans måste varje operation göras på båda leden. Du får inte bara ändra ena sidan.

Isolera variabeln

Ta bort 4 från båda leden: `x + 4 - 4 = 11 - 4`, alltså `x = 7`. Talet 7 är lösningen eftersom det gör ekvationen sann. `L = {7}`.

Ettstegsekvationer i praktiken

Motsatta operationer

För att isolera `x` använder du motsatt operation: addera till subtraktion, subtrahera från addition, dividera vid multiplikation och multiplicera vid division.

Exempel: x - 9 = 14

Addera 9 i båda leden: `x - 9 + 9 = 14 + 9`. Då återstår `x = 23`. Du har tagit bort termen `-9` utan att rubba balansen.

Exempel: 6x = 42

Dividera båda leden med 6: `6x / 6 = 42 / 6`, alltså `x = 7`. Att subtrahera 6 vore fel operation, eftersom 6 är en faktor.

Flera steg och tydlig arbetsgång

Ångra i omvänd ordning

I `3x + 5 = 26` har `x` först multiplicerats med 3 och därefter fått 5 adderat. Ta därför först bort `+5` och dela sedan med 3.

Steg för steg

`3x + 5 = 26` blir `3x = 21` när 5 subtraheras i båda leden. Dividera sedan med 3: `x = 7`. Varje rad ska behålla balansen.

Ekvivalenta ekvationer

Ekvationer som har samma lösningsmängd är ekvivalenta. Kontrollera vid varje steg: Har jag utfört samma operation i båda leden?

Parenteser: förenkla före eller under lösningen

Parentesens regel

I `4(x - 3)` ska 4 multipliceras med båda termerna: `4x - 12`. Detta är distributiva lagen: `a(b + c) = ab + ac`.

Kort väg

För `4(x - 3) = 20` kan du dividera med 4 direkt: `x - 3 = 5`. Addera sedan 3 i båda leden och få `x = 8`.

Vanlig minussfälla

`-3(x - 2)` blir `-3x + 6`. Minustecknet påverkar båda produkterna. Skriv ut varje multiplikation om du känner dig osäker.

Snabbkontroll: första balanseringen

Vilket steg är korrekt?

Välj den rad som kan följa direkt efter `5x - 7 = 18`. Fokusera på den första operationen och på att balansen bevaras.

Vilken rad är korrekt direkt efter `5x - 7 = 18`?

`5x = 25`
`x - 7 = 18 / 5`
`5x = 11`
`x = 18 + 7`

Show Answer

Answer: A) `5x = 25`

Addera 7 i båda leden: `5x - 7 + 7 = 18 + 7`, vilket ger `5x = 25`. Först därefter dividerar du båda leden med 5 och får `x = 5`.

Variabel i båda leden

Samla variablerna

I `5x + 4 = 2x + 19` finns `x` i båda leden. Subtrahera `2x` i båda leden för att samla variabeltermerna: `3x + 4 = 19`.

Fortsätt isolera

Subtrahera 4 i båda leden: `3x = 15`. Dividera sedan med 3: `x = 5`. Att samla termer förenklar innan du delar.

Inte magiskt teckenbyte

En term "byter" inte sida av sig själv. När `2x` försvinner från höger har du subtraherat `2x` från båda leden. Det förklarar tecknen.

En vardagsmodell med två led

Skapa en ekvation

Låt `x` vara antal hyrfilmer. Tjänst A kostar `79 + 12x` och B kostar `25x`. Lika kostnad beskrivs med `79 + 12x = 25x`.

Lös brytpunkten

Subtrahera `12x`: `79 = 13x`. Dividera med 13: `x = 79 / 13 ≈ 6,08`. Det är den matematiska punkten där kostnaderna möts.

Tolka svaret

Antal filmer är vanligen heltal. Vid 6 filmer är B billigast, vid 7 filmer är A billigast. Kontrollera alltid vad lösningen betyder i uppgiftens sammanhang.

Ekvationer med bråk

Bråk är division

`x / 3` betyder att `x` divideras med 3. I `x / 3 + 2 = 7` tar du först bort 2 och multiplicerar sedan båda leden med 3.

Flera nämnare

I `x / 2 + x / 3 = 10` är MGM för 2 och 3 lika med 6. Multiplicera varje term med 6: `3x + 2x = 60`.

Undvik bråkfällan

`x / 2 + x / 3` är inte `2x / 5`. Nämnare adderas inte så. Använd gemensam nämnare eller multiplicera hela ekvationen med MGM.

Kombinerad ekvation: parentes, bråk och x i båda leden

Välj MGM

I `(2x - 4) / 3 + 1 = x / 2` är nämnarna 3 och 2. MGM är 6. Multiplicera därför varje term i båda leden med 6.

Förenkla metodiskt

Efter multiplikation: `2(2x - 4) + 6 = 3x`. Utveckla och förenkla: `4x - 8 + 6 = 3x`, alltså `4x - 2 = 3x`.

Pröva i originalet

Lösningen blir `x = 2`. Sätt in i originalet: vänster led blir 1 och höger led blir 1. Prövning i originalekvationen bekräftar svaret.

Begrepp att kunna

Repetera centrala ord

Vänd korten och försök formulera definitionen innan du läser svaret. Koppla varje begrepp till en egen ekvation.

Ekvation: Ett påstående att två uttryck har samma värde, till exempel `3x + 2 = 14`.
Led: Ett av uttrycken på varsin sida om likhetstecknet. I `x + 4 = 11` är `x + 4` vänster led och 11 höger led.
Lösning: Ett värde på variabeln som gör ekvationen sann.
Lösningsmängd: Mängden av alla värden som löser ekvationen, till exempel `L = {7}`.
Balansmetoden: Att göra samma tillåtna operation i båda leden för att behålla en ekvations lösningsmängd.
MGM: Minsta gemensamma multipel. Används ofta för att ta bort flera nämnare i en ekvation med bråk.
Prövning: Att sätta in den erhållna lösningen i originalekvationen och kontrollera att båda leden får samma värde.

Avslutande utmaning

Välj både rätt lösning och rätt metod

Lös ekvationen på papper först. Leta efter ett lämpligt första steg: parentesen kan utvecklas, och därefter behöver variabeltermer samlas.

Vilket är rätt värde på x i `3(x + 2) = x + 14`?

`x = 2`
`x = 4`
`x = 6`
`x = 8`