Talet som ett värde multipliceras med för att få det nya värdet. Exempel: ökning med 8 % ger faktor 1,08.

Faktor vid ökning med p %

`1 + p/100`. Exempel: 35 % ökning ger `1,35`.

Faktor vid minskning med p %

`1 - p/100`. Exempel: 35 % minskning ger `0,65`.

Total procentuell förändring

Jämför total faktor med 1. Faktor 1,18 betyder 18 % ökning; faktor 0,93 betyder 7 % minskning.

What is ränta-på-ränta?

Effekten att ränta under senare perioder även beräknas på tidigare tillagd ränta.

What is förändringsfaktor?

Det tal som multipliceras med ett värde för att utföra en procentuell förändring.

What is ursprungligt värde?

Värdet innan en procentuell förändring genomfördes.

Förändringsfaktor och förändringar i flera steg — Matematiklyftet åk 9 – komplett träning inför nationella provet

Q: Vilken förändringsfaktor motsvarar en minskning med 18 %?

0,82. Efter en minskning med 18 % återstår `100 % - 18 % = 82 %`. Decimalformen av 82 % är `0,82`. Faktoren `0,18` beskriver bara själva minskningen, inte det nya värdet.

Q: Vilken beräkning och vilket svar är korrekt?

`1 500 / 1,25 = 1 200 kr`. En höjning med 25 % har faktorn 1,25. Eftersom 1 500 kr är slutvärdet delar du bakåt: `1 500 / 1,25 = 1 200 kr`. Kontroll: `1 200 × 1,25 = 1 500`.

1. Procent som multiplikation

Vad betyder förändringsfaktor?

En förändringsfaktor är talet som ett värde multipliceras med. Den kopplar direkt ihop gammalt och nytt värde: `nytt = gammalt × faktor`.

Ökning eller minskning

Vid ökning med `p %` är faktorn `1 + p/100`. Vid minskning med `p %` är den `1 - p/100`. Procent måste först skrivas i decimalform.

Snabbt exempel

500 kr höjs med 12 %. Faktorn är `1,12`, alltså `500 × 1,12 = 560 kr`. Höjningen är 60 kr, vilket är 12 % av 500 kr.

2. Från procent till rätt faktor

Hela värdet finns med

Ökning med 25 % betyder att nya värdet är 125 % av det gamla. Därför är förändringsfaktorn `1,25`, inte `0,25`.

Vid minskning

Minskning med 25 % innebär att 75 % återstår. Skriv `75 % = 0,75`; det är förändringsfaktorn.

Rimlighetskontroll

En minskning med 40 % ger faktorn `0,60`. Ett pris, antal eller en längd kan vanligtvis inte minska med mer än 100 % utan att modellen blir orimlig.

3. Ett steg: rabatt, påslag och ränta

Rabatt

800 kr med 15 % rabatt: faktorn är `0,85`. Beräkna `800 × 0,85 = 680 kr`. Rabatten är alltså 120 kr.

Prishöjning

249 kr höjs med 6 %. Faktoren `1,06` ger `249 × 1,06 = 263,94 kr`. En ökning ska ge ett resultat större än ursprungsvärdet.

Ränta

3 000 kr med 2,5 % ränta under ett år ger `3 000 × 1,025 = 3 075 kr`. Positiv ränta har en förändringsfaktor större än 1.

4. Quiz: välj rätt förändringsfaktor

En mobil kostar 4 500 kr. Priset sänks med 18 %. Vilken förändringsfaktor ska användas för att beräkna det nya priset?

Vilken förändringsfaktor motsvarar en minskning med 18 %?

0,18
0,82
1,18
1,82

Show Answer

Answer: B) 0,82

Efter en minskning med 18 % återstår `100 % - 18 % = 82 %`. Decimalformen av 82 % är `0,82`. Faktoren `0,18` beskriver bara själva minskningen, inte det nya värdet.

5. Flera förändringar: multiplicera faktorer

En faktor för varje steg

Vid flera procentförändringar multipliceras faktorerna. Varje ny förändring utgår från det värde som gäller just då, inte alltid från startvärdet.

Total förändringsfaktor

Ökning 10 % och sedan minskning 20 % ger `1,10 × 0,80 = 0,88`. Den totala faktorn är `0,88`.

Tolka slutet

Faktor `0,88` betyder att 88 % av startvärdet återstår. Det är en total minskning med `100 % - 88 % = 12 %`.

6. Varför +20 % och -20 % inte tar ut varandra

Först upp

1 000 kr ökar med 20 %: `1 000 × 1,20 = 1 200 kr`. Ökningen är 200 kr.

Sedan ned

1 200 kr minskar med 20 %: `1 200 × 0,80 = 960 kr`. Minskningen är 240 kr, eftersom basvärdet nu är större.

Slutsats

`1,20 × 0,80 = 0,96`. Värdet är 96 % av startvärdet, alltså en total minskning med 4 %. Samma procenttal tog inte ut varandra.

7. Tänk efter: jämför två metoder

Aktiv uppgift

En spelkonsol kostar 5 000 kr. Butiken höjer priset med 30 % och har veckan därpå 30 % rabatt på det höjda priset.

Gör detta innan du räknar:

Skriv faktorn för höjningen.
Skriv faktorn för rabatten.
Multiplicera faktorerna för att få total förändringsfaktor.
Beräkna slutpriset.
Förklara med en mening varför slutpriset inte blir 5 000 kr.

Kontrollera sedan:

Faktorer: `1,30` och `0,70`
Total faktor: `1,30 × 0,70 = 0,91`
Slutpris: `5 000 × 0,91 = 4 550 kr`

Priset har totalt minskat med 9 %. Rabatten på 30 % räknas på 6 500 kr, medan höjningen på 30 % räknades på 5 000 kr. Skriv alltid ut vilket värde procenten beräknas av.

8. Upprepade förändringar och exponenter

Exponentiell modell

När samma faktor används `n` gånger: `slutvärde = startvärde × faktor^n`. Exponenten visar hur många förändringsperioder som har passerat.

Tre år med 4 %

`10 000 × 1,04^3 = 11 248,64 kr`. Faktorn `1,04` används tre gånger, en gång för varje år.

Inte bara 12 %

Tre ökningar med 4 % är mer än en enda ökning med 12 %, eftersom varje ny ökning beräknas på det redan förändrade värdet.

9. Baklänges: ursprungligt värde och omvänd faktor

Dela när du går bakåt

Om `nytt = gammalt × faktor`, så är `gammalt = nytt / faktor`. Vid baklängesberäkning ska du alltså dela med förändringsfaktorn.

Exempel

765 kr är priset efter 15 % rabatt. Faktorn är `0,85`, så ursprungspriset är `765 / 0,85 = 900 kr`.

Omvänd förändringsfaktor

Den omvända faktorn till `0,85` är `1/0,85 ≈ 1,1765`. Därför krävs ungefär 17,65 % ökning för att återställa en minskning med 15 %.

10. Quiz: räkna baklänges

Efter en prishöjning med 25 % kostar en vara 1 500 kr. Bestäm det ursprungliga priset.

Vilken beräkning och vilket svar är korrekt?

`1 500 × 1,25 = 1 875 kr`
`1 500 / 1,25 = 1 200 kr`
`1 500 / 0,25 = 6 000 kr`
`1 500 × 0,75 = 1 125 kr`