SkarpChapter 24 of 30
Lägesmått, spridningsmått och jämförelser
Ett enda genomsnitt berättar sällan hela historien. Lägesmått och spridningsmått kombineras för att jämföra datamaterial och avgöra när ett extremvärde förändrar slutsatsen.
Varför räcker inte ett genomsnitt?
Två frågor till data
Statistik handlar inte bara om ett genomsnitt. Fråga både vad som är typiskt och hur mycket värdena varierar. Då blir jämförelsen mellan grupper mer rättvisande.
Samma medelvärde, olika grupper
A: `6, 7, 7, 8, 8` och B: `2, 6, 7, 8, 13` har båda medelvärdet 7. Trots det är B betydligt mer utspridd än A.
Spridning
Variationsbredd är största värdet minus minsta värdet. Måttet fångar avståndet mellan yttervärdena och hjälper dig att se om resultaten ligger samlade eller glest.
Extremvärden
Ett extremvärde ligger ovanligt långt från övriga värden. Det kan påverka medelvärdet starkt, men medianen brukar vara mer stabil.
Medelvärde: fördela summan lika
Formeln
Beräkna medelvärde med `summa / antal värden`. Medelvärdet kan tolkas som det värde alla skulle få om den totala mängden fördelades exakt lika.
Exempel: summera
Sidorna `12, 18, 15, 20, 10` ger summan `75`. Det finns 5 värden, så beräkningen blir `75 / 5 = 15`.
Tolka med enhet
Svaret är 15 sidor per elev. Skriv alltid vad talet mäts i. Ett medelvärde utan sammanhang eller enhet är svårt att tolka korrekt.
Kontrollera extremvärden
Om ett värde ändras från 10 till 100 blir medelvärdet mycket större. Medelvärdet använder alla värden och är därför känsligt för extrema observationer.
Median och typvärde
Median kräver sortering
Sortera alltid först. I `9, 3, 6, 11, 5` blir ordningen `3, 5, 6, 9, 11`, och det mittersta värdet 6 är medianen.
Jämnt antal värden
I `2, 4, 7, 10` ligger 4 och 7 i mitten. Medianen är deras medelvärde: `(4 + 7) / 2 = 5,5`, även om 5,5 inte finns i listan.
Typvärde
Typvärde är det vanligaste värdet. I `36, 38, 38, 40, 40, 40, 42` är 40 typvärde eftersom det förekommer flest gånger.
När passar måtten?
Medianen står emot enstaka extrema tal. Typvärde passar även kategorier, exempelvis vanligaste färdsättet, där det varken går att beräkna median eller medelvärde.
Arbetad jämförelse: när en rekordtid lurar oss
Data
R: `5, 5, 6, 6, 7` och S: `3, 5, 6, 6, 9`. Båda grupperna har fem löpare, så deras medelvärden kan jämföras direkt.
Samma läge
Båda summorna är 29, alltså är medelvärdet `29 / 5 = 5,8` minuter. Båda gruppernas median är också 6 minuter.
Olika spridning
R har variationsbredd `7 - 5 = 2`. S har variationsbredd `9 - 3 = 6`. Grupp S varierar alltså mycket mer, trots samma medelvärde.
Skriv en slutsats
En stark slutsats nämner flera mått: grupperna har samma typiska tid enligt medelvärde och median, men R är jämnare eftersom variationsbredden är mindre.
Variationsbredd och vad den visar
Formel
`variationsbredd = största värdet - minsta värdet`. I `14, 16, 16, 17, 19, 22` blir den `22 - 14 = 8`.
Enhet spelar roll
Om materialet mäts i poäng är variationsbredden 8 poäng. Om materialet mäts i minuter är den 8 minuter. Behåll alltid den ursprungliga enheten.
Vad betyder stor spridning?
Stor variationsbredd betyder att yttervärdena ligger långt ifrån varandra. Liten variationsbredd tyder på att resultaten är mer samlade, men berättar inte allt om fördelningen.
Måttets begränsning
Variationsbredden använder bara minsta och största värdet. Två material kan ha samma variationsbredd men ändå ha värdena fördelade på olika sätt.
Arbetad jämförelse: två klasser
Beräkna medelvärdet
Båda klasserna har summan 84 poäng för sex elever. Medelvärdet blir därför `84 / 6 = 14` poäng i båda klasserna.
Kontrollera medianen
I båda sorterade listorna är de två mittersta resultaten 14 och 14. Medianen är alltså 14 även här.
Jämför variationsbredd
A: `16 - 12 = 4` poäng. B: `20 - 8 = 12` poäng. Klass B har tre gånger så stor variationsbredd som klass A.
Rättvis slutsats
Klasserna har samma typiska resultat, men inte samma jämnhet. A är mer samlad, medan B innehåller både mycket låga och mycket höga resultat.
Välj ett representativt lägesmått
Representativt betyder rimligt
Det mest representativa måttet beror på vad du undersöker. Titta på datatyp, frågan du ska besvara och om något värde sticker ut tydligt.
När medelvärde passar
Medelvärde använder alla tal och passar när data är någorlunda jämnt fördelad. Det är känsligt för enstaka mycket höga eller låga värden.
När median passar
Medianen är ofta bättre för exempelvis löner och bostadspriser. Ett extremt högt värde drar inte medianen lika kraftigt som det drar medelvärdet.
När typvärde passar
Typvärde svarar på frågan "vilket är vanligast?" och kan användas för kategorier, exempelvis vanligaste transportmedlet, där ett genomsnitt inte är meningsfullt.
Undersök ett extremvärde själv
Tänk och beräkna
En kiosk registrerade antal kunder under sex vardagar:
`38, 41, 39, 40, 42, 120`
Arbeta i denna ordning:
- Sortera talen om du behöver det.
- Beräkna medelvärdet.
- Beräkna medianen.
- Beräkna variationsbredden.
- Bestäm vilket lägesmått som bäst beskriver en vanlig vardag och motivera med en hel mening.
Kontrollera sedan ditt resonemang:
- Summan är `320`, så medelvärdet är ungefär `53,3` kunder.
- Medianen är medelvärdet av 40 och 41, alltså `40,5` kunder.
- Variationsbredden är `120 - 38 = 82` kunder.
Talet 120 är ett extremvärde jämfört med de andra fem dagarna. Medelvärdet 53,3 blir högre än antalet kunder under någon av de fem vanliga dagarna. Om 120 berodde på en festival eller ett engångsevenemang är medianen 40,5 mer representativ för en vanlig vardag.
Viktigt: medianen är inte automatiskt "rätt". Om kioskägaren vill planera bemanning för alla dagar kan medelvärdet och informationen om toppdagen också vara viktiga. Statistiska mått måste alltid tolkas utifrån frågan.
Snabbtest: median
Beräkna först i rätt ordning. Leta sedan efter mittvärdet.
Vilken är medianen för talen `12, 4, 9, 7, 6, 15`?
- 7
- 8
- 8,5
- 9
Show Answer
Answer: B) 8
Sortera talen: `4, 6, 7, 9, 12, 15`. Det finns sex tal, så medianen är medelvärdet av de två mittersta: `(7 + 9) / 2 = 8`.
Begrepp att kunna
Vänd korten och säg gärna definitionen högt innan du kontrollerar svaret.
- Lägesmått
- Ett mått som beskriver ett typiskt läge i ett datamaterial, till exempel medelvärde, median eller typvärde.
- Medelvärde
- Summan av alla värden delat med antalet värden. Påverkas av alla värden, även extremvärden.
- Median
- Det mittersta värdet i en sorterad lista. Vid jämnt antal värden är det medelvärdet av de två mittersta.
- Typvärde
- Det värde eller den kategori som förekommer flest gånger. Ett material kan ha flera eller inget typvärde.
- Variationsbredd
- Största värdet minus minsta värdet. Måttet visar avståndet mellan yttervärdena.
- Extremvärde
- Ett ovanligt högt eller lågt värde jämfört med övriga data. Det kan påverka medelvärdet kraftigt.
Tillämpning: välj och motivera
Läs frågan noga: här testas både beräkning och tolkning.
Fem bostadspriser i miljoner kronor är `2,1; 2,3; 2,4; 2,5; 12,0`. Vilket påstående är bäst?
- Medelvärdet är mest representativt eftersom det använder alla priser.
- Medianen är mest representativ eftersom priset 12,0 är ett extremvärde som drar upp medelvärdet.
- Typvärdet är mest representativt eftersom det alltid används för priser.
- Variationsbredden är ett lägesmått och visar det typiska priset.
Show Answer
Answer: B) Medianen är mest representativ eftersom priset 12,0 är ett extremvärde som drar upp medelvärdet.
12,0 miljoner avviker kraftigt från de övriga priserna. Medianen är 2,4 miljoner och beskriver bättre den mittersta prisnivån. Variationsbredd är ett spridningsmått, inte ett lägesmått.
Provstrategi: från tabell till välmotiverad slutsats
Börja med frågan
Avgör först om uppgiften ber om en beräkning, en jämförelse eller ett resonemang om representativitet. Det styr vilka mått du behöver använda.
Visa mellanled
Skriv ut sorteringen för median, summan och antalet för medelvärde samt största minus minsta för variationsbredd. Det gör ditt resonemang möjligt att följa.
Jämför och tolka
Jämför samma slags mått och skriv vad siffrorna betyder. Större variationsbredd betyder större skillnad mellan yttervärdena, inte automatiskt bättre eller sämre resultat.
Avsluta med en motivering
Koppla valet av mått till data: "Medianen är mest representativ eftersom ett extremvärde drar upp medelvärdet." Den typen av motivering visar statistisk förståelse.
Key Terms
- median
- Det mittersta värdet när värdena sorterats. Vid jämnt antal värden används medelvärdet av de två mittersta.
- typvärde
- Det värde eller den kategori som förekommer flest gånger.
- lägesmått
- Ett mått som beskriver var ett typiskt värde ligger i ett datamaterial. Medelvärde, median och typvärde är lägesmått.
- medelvärde
- Summan av samtliga värden delad med antalet värden.
- extremvärde
- Ett värde som är ovanligt högt eller lågt jämfört med de övriga värdena.
- variationsbredd
- Skillnaden mellan det största och det minsta värdet i ett datamaterial.
- representativt mått
- Det lägesmått som ger den rimligaste bilden av det som ska beskrivas i den aktuella situationen.