SkarpChapter 13 of 30
Talföljder, geometriska mönster och programmering
Ett växande figurmönster kan beskrivas med ord, tabell, formel och kod. Algoritmiskt tänkande används för att hitta den generella regeln, testa den och förbättra en lösning.
Från figur till talföljd
Mönster blir en talföljd
Ett växande figurmönster byggs steg för steg. Numrera figurerna med `n = 1, 2, 3, ...`. Räknar du exempelvis stickor, rutor eller prickar i varje figur får du en talföljd.
Ett första exempel
Om figurerna innehåller 4, 7 och 10 stickor är talföljden `4, 7, 10, ...`. Målet är inte bara att se att talen växer, utan att beskriva regeln så att du kan beräkna figur 100.
Arbetsgång
- Numrera figurerna. 2. Räkna det som frågas efter. 3. Skriv en tabell. 4. Jämför talen. 5. Testa regeln på flera figurer. Tabellen gör sambandet mellan figurnummer och antal tydligt.
Viktig tolkningsfråga
Räkna exakt det uppgiften ber om. Sammanbyggda rutor kan dela en sida. Antalet rutor, antalet stickor och antalet ytterkanter är därför ofta tre olika talföljder, trots att de kommer från samma bild.
Varje element och förändringen
Skriv följden som `a₁, a₂, a₃, ...`, där `aₙ` betyder talet på plats `n`. Differensen är förändringen mellan intilliggande tal. I `4, 7, 10, 13, ...` är differensen alltid `+3`.
Rekursiv regel
En rekursiv regel visar hur nästa tal fås ur det föregående: `a₁ = 4` och `aₙ₊₁ = aₙ + 3`. Startvärdet behövs; regeln `+3` ensam berättar inte vilket talföljden börjar med.
Explicit regel
En explicit formel ger direkt talet på plats `n`: `aₙ = 4 + (n - 1) · 3`. Du kan då beräkna exempelvis `a₅₀` utan att först skapa de 49 tidigare talen.
Förenkla och kontrollera
Utveckla formeln: `4 + 3n - 3 = 3n + 1`. Kontrollera alltid med `n = 1`: `3 · 1 + 1 = 4`. Om första termen inte stämmer har du ofta glömt eller felanvänt `n - 1`.