SkarpChapter 25 of 30
Proportionalitet i tabeller, grafer och formler
Ett proportionellt samband känns igen i flera representationer men kan döljas av en komplicerad kontext. Proportionalitetskonstanten blir länken mellan tabell, graf, bråk och formel.
1. Vad betyder proportionalitet?
Proportionalitet: samma faktor varje gång
Ett proportionellt samband uppstår när en storhet alltid förändras med samma faktor som en annan. Om `x` fördubblas, fördubblas också `y`. Om `x` tredubblas, tredubblas `y`.
Sambandet skrivs:
`y = kx`
Här är:
- `x` den oberoende variabeln, ofta det du väljer eller mäter först.
- `y` den beroende variabeln, som påverkas av `x`.
- `k` proportionalitetskonstanten: hur mycket `y` blir för varje enhet av `x`.
Exempel: En biobiljett kostar 120 kr. Om `x` är antal biljetter och `y` är total kostnad gäller `y = 120x`. Konstanten är `k = 120 kr per biljett`.
Ordet proportionell betyder alltså inte bara att två värden
2. Hitta proportionalitet i en tabell
Beräkna kvoten
För varje tabellrad beräknar du `y/x`. I tabellen är `36/2 = 18`, `90/5 = 18` och `144/8 = 18`. Kvoten är alltså konstant.
Skriv formeln
När kvoten alltid är 18 är proportionalitetskonstanten `k = 18`. Sambandet skrivs `y = 18x`, vilket betyder 18 kr för varje kilometer.
Undvik en vanlig fälla
Lika stora skillnader räcker inte som bevis för proportionalitet. Använd alltid kvoten `y/x` och kontrollera att sambandet också ger `y = 0` när `x = 0`.
3. Proportionalitetskonstanten k
Räkna ut k
Från `y = kx` får du `k = y/x` när `x` inte är 0. Konstanten är alltså kvoten mellan den beroende och den oberoende variabeln.
Enheterna spelar roll
Om priset är 24 kr för 0,75 kg blir `k = 24/0,75 = 32 kr/kg`. Konstanten säger inte bara ett tal, utan också en takt eller ett styckepris.
Samma samband, olika enheter
Med gram får du `y = 0,032x`; med kilogram får du `y = 32x`. Formeln ändras när enheten ändras, men den verkliga kostnaden är densamma.
4. Grafen: den måste gå genom origo
Två grafiska kännetecken
En proportionell graf är en rät linje och den går genom origo `(0,0)`. Båda villkoren behövs för att du ska kunna dra slutsatsen.
k är grafens lutning
I `y = 3x` ökar `y` med 3 när `x` ökar med 1. Därför är lutningen 3 och samma tal är proportionalitetskonstanten `k = 3`.
Läs noga i diagram
En graf kan se ut att gå genom origo trots avklippta axlar eller ovanliga skalor. Kontrollera alltid koordinater och axelmarkeringar, inte bara linjens utseende.
5. Från text till tabell, formel och graf
1. Bestäm variablerna
Låt `x` vara antal euro och `y` vara antal kronor. När texten säger 1 euro = 11,20 kr visar den direkt att `k = 11,20 kr/euro`.
2. Skriv och använd formeln
Formeln blir `y = 11,20x`. För 35 euro: `y = 11,20 · 35 = 392`. Alltså motsvarar 35 euro 392 kr enligt den givna kursen.
3. Växla riktning med division
För att hitta euro från kronor löser du ut `x`: `x = y/11,20`. Med 280 kr får du `280/11,20 = 25`, alltså 25 euro.
6. Skilj proportionellt från andra samband
Tre samband som lätt förväxlas
1. Proportionellt: `y = kx`
Exempel: 25 kr per kilogram frukt utan extra avgift. `y = 25x`. Grafen är rak och går genom origo. Kvoten `y/x` är konstant.
2. Linjärt men inte proportionellt: `y = kx + m`
Exempel: en hyrskoter kostar 10 kr i startavgift och 3 kr per minut: `y = 3x + 10`. Grafen är rak, men den går genom `(0,10)`, inte origo. Kvoten `y/x` varierar: efter 1 minut är den `13/1 = 13`, efter 5 minuter `25/5 = 5`.
3. Icke-linjärt
Exempel: arean av en kvadrat med sidan `x` är `y = x²`. När sidan fördubblas fyrdubblas arean. Grafen är böjd och kvoten `y/x` är inte konstant.
Proportionalitet handlar alltså inte om att en graf bara är
7. Sortera sambanden
Tänk själv: vilket samband är vilket?
Klassificera varje situation innan du läser facit. Skriv gärna `P` för proportionellt, `L` för linjärt men inte proportionellt och `I` för icke-linjärt.
- En utskrift kostar 0,80 kr per sida, utan startavgift.
- En parkering kostar 25 kr i startavgift och 12 kr per timme.
- En cirkels area beror på radien enligt `A = πr²`.
- En tank fylls med 7 liter per minut och är tom från början.
Facit och resonemang
- P: `y = 0,80x`. Ingen kostnad vid 0 sidor, så grafen går genom origo.
- L: `y = 12x + 25`. Kostnaden ökar jämnt, men startavgiften gör sambandet icke-proportionellt.
- I: radien finns i kvadrat. Om radien dubbleras blir arean fyra gånger större.
- P: `y = 7x`. Efter 0 minuter finns 0 liter i tanken och volymen ökar med samma mängd per minut.
Lägg märke till språksignalen startavgift, grundavgift eller fast kostnad. Den signalerar ofta termen `+ m` och alltså ett linjärt men inte proportionellt samband.
8. Quiz: tabell och kvot
Välj det korrekta påståendet
Undersök tabellen genom att beräkna kvoten `y/x` för varje rad. Fokusera på om kvoten är konstant, inte på om differenserna råkar se lika ut.
Tabellen har värdena `(x,y)`: `(2,14)`, `(5,35)`, `(8,56)`. Vilken slutsats är korrekt?
- Sambandet är proportionellt och formeln är `y = 7x`.
- Sambandet är linjärt men inte proportionellt, eftersom y ökar.
- Sambandet är proportionellt och formeln är `y = 14x`.
- Det går inte att avgöra utan en graf.
Show Answer
Answer: A) Sambandet är proportionellt och formeln är `y = 7x`.
Kvoterna är `14/2 = 7`, `35/5 = 7` och `56/8 = 7`. Kvoten är konstant, så `k = 7` och formeln är `y = 7x`.
9. Quiz: graf och startavgift
Granska både formel och betydelse
En rät graf betyder att förändringen per steg är konstant. Men för proportionalitet måste grafen dessutom passera origo.
En mobilparkering beskrivs av `y = 18x + 6`, där x är antal timmar och y är kostnad i kronor. Vad är rätt?
- Sambandet är proportionellt med `k = 18`.
- Sambandet är proportionellt med `k = 6`.
- Sambandet är linjärt men inte proportionellt, eftersom det finns en fast kostnad på 6 kr.
- Sambandet är icke-linjärt eftersom formeln har två tal.
Show Answer
Answer: C) Sambandet är linjärt men inte proportionellt, eftersom det finns en fast kostnad på 6 kr.
Formeln har formen `y = kx + m`, där `m = 6`. Vid `x = 0` blir `y = 6`, så grafen går inte genom origo. Den är linjär men inte proportionell.
10. Begrepp på minnet
Vänd korten och säg definitionen med egna ord
Försök även koppla varje begrepp till en tabell, en graf eller en formel.
- Proportionellt samband
- Ett samband där y förändras med samma faktor som x. Det kan skrivas `y = kx`, har konstant kvot `y/x` och en rät graf genom origo.
- Proportionalitetskonstant k
- Talet i `y = kx`. Det beräknas med `k = y/x` och tolkas som hur mycket y motsvarar per enhet x, till exempel kr/kg.
- Kvot
- Resultatet av en division. Vid proportionalitet är kvoten `y/x` konstant för alla par av värden där x inte är 0.
- Origo
- Koordinatpunkten `(0,0)`. En proportionell grafs räta linje måste gå genom denna punkt.
- Linjärt men inte proportionellt
- Ett samband av formen `y = kx + m` där `m` inte är 0. Grafen är rak men passerar inte origo, ofta på grund av en startavgift.
11. Nationella provet: systematisk problemlösning
Läs startvärdet
15 liter per minut i 8 minuter ger 120 liter, men mängden är 140 liter. De extra 20 litrarna visar att behållaren inte var tom från början.
Bygg modellen
Formeln är `y = 15x + 20`. Talet 15 är förändringen per minut, medan 20 är startvärdet. Kontroll: `15 · 8 + 20 = 140`.
Dra slutsatsen
Sambandet är linjärt men inte proportionellt: vid `x = 0` är `y = 20`. Använd alltid kontrollfrågorna kvot, nollvärde, formel och enhet.
Key Terms
- kvot
- Resultatet av en division, exempelvis y/x.
- origo
- Punkten (0,0) i ett koordinatsystem.
- startvärde
- Värdet på y när x = 0; i y = kx + m är startvärdet m.
- linjärt samband
- Ett samband vars graf är en rät linje, ofta skrivet y = kx + m.
- proportionalitet
- Egenskapen att två storheter förändras med samma faktor och kan beskrivas med y = kx.
- proportionellt samband
- Ett samband med konstant kvot y/x, rät graf genom origo och formeln y = kx.
- proportionalitetskonstant
- Talet k i formeln y = kx; det anger y per enhet x.