En handling med ett resultat som inte kan förutsägas säkert i förväg, till exempel ett tärningskast.

Mängden av alla möjliga utfall i ett slumpförsök, exempelvis `{1, 2, 3, 4, 5, 6}` för en tärning.

Ett utfall som uppfyller villkoret i den fråga som ställs.

`antal gånger händelsen inträffar / antal försök`. Den används som experimentell sannolikhet.

Ett möjligt resultat av ett slumpförsök.

Ett eller flera utfall som undersöks i en sannolikhetsfråga.

Alla möjliga utfall i ett slumpförsök.

Sannolikhetens grunder och utfallsrum — Matematiklyftet åk 9 – komplett träning inför nationella provet

Q: En påse innehåller 5 gröna och 3 gula kulor. Vilken beräkning ger sannolikheten att dra en grön kula?

5/8. Det finns 5 gynnsamma utfall, gröna kulor, och totalt 8 kulor. Därför är sannolikheten `5/8`. Att det bara finns två färger betyder inte att sannolikheten är `1/2`, eftersom färgerna inte förekommer lika många gånger.

1. Slumpförsök: vad kan hända?

Ett försök med osäkert resultat

Ett slumpförsök har ett resultat som inte kan förutsägas säkert i förväg. Tärningskast, kortdragning och kuldragning utan att titta är vanliga exempel.

Utfall och utfallsrum

Ett utfall är ett möjligt resultat. Alla möjliga utfall tillsammans bildar utfallsrummet. För en vanlig tärning: `U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}`.

Utfallsrummet måste stämma

Ett utfallsrum ska innehålla alla möjliga resultat, men inte råka räkna samma konkreta resultat flera gånger. Beskriv först själva försöket noggrant.

Slump är inte alltid rättvist

Ett försök kan vara slumpmässigt även när vissa utfall är vanligare än andra. Kontrollera därför alltid om utfallen är likformigt fördelade innan du använder en enkel kvot.

2. Likformiga utfall och sannolikhetsformeln

Grundformeln

När alla elementära utfall är lika sannolika gäller: `P(händelse) = antal gynnsamma utfall / antal möjliga utfall`.

Exempel: jämnt på tärning

Händelsen "jämnt" är `{2, 4, 6}`. Tre av sex utfall är gynnsamma: `P(jämnt) = 3/6 = 1/2 = 0,5`.

Gynnsam betyder relevant

Gynnsamma utfall är de som passar frågan, inte nödvändigtvis de du önskar. Läs villkoret noga: "mindre än", "högst", "minst" och "exakt" betyder olika saker.

Räkna rätt nivå

Tre röda och en blå kula ger inte två lika sannolika färger. Räkna i stället de fyra enskilda kulorna: tre ger röd och en ger blå.

3. Räkna gynnsamma utfall steg för steg

Högst 4

För en tärning är `U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}`. "Högst 4" omfattar `{1, 2, 3, 4}`. Därför är sannolikheten `4/6 = 2/3`.

Ett hjärter ur kortlek

En kortlek har 52 kort, varav 13 är hjärter. Eftersom varje kort är lika sannolikt är `P(hjärter) = 13/52 = 1/4`.

Eller

På en tärning betyder "1 eller 6" de gynnsamma utfallen `{1, 6}`. Sannolikheten är `2/6 = 1/3`.

Ord som ändrar svaret

"Minst 4" är `{4, 5, 6}`, medan "mer än 4" är `{5, 6}`. Skriv ut utfallen så undviker du att missa gränsvärdet.

4. Bygg ett utfallsrum

Tänk själv: två myntkast

Du kastar ett mynt två gånger. Skriv först möjliga resultat i ordning. Första och andra kastet skiljer sig åt, så `krona sedan klave` är inte samma utfall som `klave sedan krona`.

Skriv utfallsrummet med fyra elementära utfall.
Markera de utfall där du får exakt en krona.
Beräkna sannolikheten, om myntet är rättvist.

Kontroll:

Utfallsrum: `U = {KK, KL, LK, LL}`, där första bokstaven avser första kastet.
Exakt en krona: `{KL, LK}`.
Sannolikhet: `2/4 = 1/2`.

Observera fällan: Det finns tre möjliga antal kronor: 0, 1 eller 2. Men dessa tre antal är inte lika sannolika. Antalet 1 krona kan uppstå på två sätt, medan 0 respektive 2 kronor bara kan uppstå på ett sätt.

5. Två steg i samma slumpförsök

Sex kombinationer

Välj 1, 2 eller 3 och singla sedan mynt: `U = {1K, 1L, 2K, 2L, 3K, 3L}`. Det är sex elementära utfall.

Jämn eller krona

Gynnsamma utfall är `1K, 2K, 2L, 3K`. Fyra av sex kombinationer fungerar, alltså `P = 4/6 = 2/3`.

Undvik dubbelräkning

`2K` uppfyller både "jämn" och "krona", men är ändå bara ett utfall. Vid "eller" är en systematisk lista ett säkert sätt att undvika dubbelräkning.

Rutfält som verktyg

Gör ett rutfält med siffror som rader och myntutfall som kolumner. Markera gynnsamma rutor och jämför dem med totalt antal rutor.

6. Sannolikhet uttrycks mellan 0 och 1

Gränserna

En sannolikhet uppfyller alltid `0 ≤ P ≤ 1`. `0` betyder omöjligt och `1` betyder säkert. I procent motsvarar det intervallet `0 %` till `100 %`.

Tre skrivsätt

Sannolikheten `1/4` kan också skrivas `0,25` eller `25 %`. Växla mellan formerna: decimal till procent betyder att multiplicera med 100.

Rimlighetskontroll

Svar som `1,4` eller `140 %` kan inte vara sannolikheter. Kontrollera alltid att svaret ligger inom rätt intervall.

Motsatshändelsen

En händelse och dess motsats har tillsammans sannolikheten 1: `P(inte A) = 1 - P(A)`. Om regn har sannolikheten `0,30`, har inget regn `0,70`.

7. Snabbkontroll: rätt modell

Vilken beräkning är korrekt?

En påse innehåller 5 gröna och 3 gula kulor. En kula dras slumpmässigt. Vilken beräkning ger sannolikheten att kulan är grön?

En påse innehåller 5 gröna och 3 gula kulor. Vilken beräkning ger sannolikheten att dra en grön kula?

Show Answer

Answer: A) 5/8

Det finns 5 gynnsamma utfall, gröna kulor, och totalt 8 kulor. Därför är sannolikheten `5/8`. Att det bara finns två färger betyder inte att sannolikheten är `1/2`, eftersom färgerna inte förekommer lika många gånger.

8. Teoretisk och experimentell sannolikhet

Teoretisk sannolikhet

Teoretisk sannolikhet kommer från en modell. För en rättvis tärning är `P(sexa) = 1/6`, eftersom ett av sex lika sannolika utfall är en sexa.

Experimentell sannolikhet

Experimentell sannolikhet beror på data från försök. Den relativa frekvensen är `antal träffar / antal försök`.

Exempel med 100 kast

18 sexor på 100 kast ger relativ frekvens `18/100 = 0,18`. Den kan jämföras med det teoretiska värdet `1/6 ≈ 0,167`.

Fler försök ger stabilare data

Vid få försök varierar resultaten mycket. Med många försök brukar den relativa frekvensen närma sig det teoretiska värdet, utan att alltid bli exakt lika.

9. Tolka relativa frekvenser

Modellen

Två lika stora sektorer ger den teoretiska sannolikheten `P(röd) = 1/2 = 0,50`.

20 observationer

13 röda på 20 snurr ger relativ frekvens `13/20 = 0,65`. Det är högre än modellens `0,50`, men ett litet antal försök kan variera mycket.

Större underlag

503 röda på 1 000 snurr ger `503/1000 = 0,503`, nära `0,50`. Många försök ger ofta en mer stabil uppskattning.

Ingen skuld från tidigare försök

Efter många röda är blå inte "skyldig" att komma nästa gång. Ett nytt snurr påverkas inte av tidigare snurr om hjulet fungerar på samma sätt varje gång.

10. Begreppskort

Vänd korten och förklara med egna ord

Försök först att ge en egen definition. Kontrollera sedan kortets svar och koppla begreppet till ett konkret exempel.

Slumpförsök: En handling med ett resultat som inte kan förutsägas säkert i förväg, till exempel ett tärningskast.
Utfallsrum: Mängden av alla möjliga utfall i ett slumpförsök, exempelvis `{1, 2, 3, 4, 5, 6}` för en tärning.
Gynnsamt utfall: Ett utfall som uppfyller villkoret i den fråga som ställs.
Teoretisk sannolikhet: Sannolikhet beräknad från en matematisk modell, ofta `gynnsamma utfall / möjliga utfall` när utfallen är lika sannolika.
Relativ frekvens: `antal gånger händelsen inträffar / antal försök`. Den används som experimentell sannolikhet.
Motsatshändelse: Det som inträffar när en händelse inte inträffar. `P(inte A) = 1 - P(A)`.

11. Avslutande provfråga

Välj svar och motivera sedan

En rättvis sexsidig tärning kastas 60 gånger. Talet 5 kommer 14 gånger. Bestäm den experimentella sannolikheten för en femma och jämför den med den teoretiska sannolikheten. Välj det påstående som är mest korrekt.

Vilket påstående är mest korrekt?

Den experimentella sannolikheten är `14/60 ≈ 0,233`, vilket är högre än den teoretiska sannolikheten `1/6 ≈ 0,167`.
Den experimentella sannolikheten är `1/6`, eftersom tärningen är rättvis.
Tärningen är bevisligen orättvis eftersom 14 inte är lika med 10.
Sannolikheten för femma på nästa kast är `14/60`.